lunes, 9 de octubre de 2017

Aplicaciones de la Derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, entre otros.

Las aplicaciones de la derivada en las funciones son: 
  1. Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
  2. Máximos y Mínimos
  3. Concavidad y convexidad.
  4. Puntos de inflexión
Se puede resumir en el siguiente mapa conceptual



1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Primero, debemos saber que es eso de crecimiento y decrecimiento de una función. Puedes ver el siguiente vídeo para ello:



Ahora, podemos calcular estos intervalos sin necesidad de graficar con la ayuda de la derivada:

  • La función es creciente en un punto "a" si la derivada de la función es positiva en dicho punto.
  • La función es decreciente en un punto "a" si la derivada de la función es negativa en dicho punto.
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos hacer como se explica en el siguiente vídeo:




2. Máximos y mínimos de una función

Un punto "a" es un máximo o un mínimo si se cumple:
  • Si f'(a)=0 y f''(a)≠0
Será un Máximo si f'(a)=0 y f''(a) es menor que cero<0 0="" font="">

Será un Mínimo si f'(a)=0 y f''(a) es mayor que 0

Observemos el siguiente vídeo donde se explicará un ejemplo:


3. Concavidad, Covexidad y Puntos de Inflexión

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.


Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:


Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Con la derivada se tienen los siguientes criterios:

  • f''(a) es mayor que 0, la función es Convexa
  • f''(a) es menor que 0 la función es Cóncava
Puntos de Inflexión:

En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Con la derivada se puede determinar si un punto es una inflexión así:

Si f''(a)=0 y f'''(a)≠0 entonces es un punto de inflexión

Observen los siguientes vídeos:




Otros ejemplos:

Calculadora de derivadas

Aunque debes derivar por ti solo, una ayuda no cae mal para rectificar los cálculos. En Internet, puedes encontrar varias, recomiendo estas dos:
Igual hay aplicaciones para celular en este sentido.

Ejercicios Interactivos:

Ejercicios Resueltos




Para finalizar

Espero les haya sido de utilidad. En el canal de JulioProfe se encuentran mas vídeos categorizados sobre aplicaciones de las derivadas.

Hasta pronto...

domingo, 8 de octubre de 2017

Cuadro de Honor de Matemáticas, tercer periodo

Este es el cuadro de honor de matemáticas de undécimo grado jornada mañana de la Institución Técnica Educativa Nuestra Señora del Carmen de Aguachica - Cesar

Como docente del área es un honor dar a conocer este listado de estudiantes que se caracterizaron por su disciplina y perseverancia en el estudio de las matemáticas. El listado muestra a los 20 mejores estudiantes de undécimo grado de un grupo de 127 estudiantes:

Puesto
Estudiante
Curso
Promedio
1
REY TRILLOS JHONATAN ANDRES
11°1
10,00
2
SANCHEZ VEGA HUGO ANDRES
11°1
10,00
3
ALSINA CARREÑO INGRID DAYANA
11°2
10,00
4
GOMEZ QUINTERO YULITZA
11°3
10,00
5
GUZMAN AREVALO ERICK JOHAM
11°3
9,93
6
CHINCHILLA CHINCHILLA JOSE SAIN
11°4
9,78
7
PABON MARTINEZ CRISMAR VANESA
11°1
9,73
8
FUENTES CONTRERAS ANYI LORENA
11°3
9,62
9
SUAREZ BAUTISTA PEDRO DAVID
11°1
9,61
10
IBARRA TINOCO LEANDRO
11°3
9,61
11
JULIO GONZALEZ JEINER
11°3
9,55
12
GUTIERREZ LONDOÑO YERALDIN
11°4
9,36
13
MATUTE CELEDON JADER ANDRES
11°1
9,36
14
RODRIGUEZ RAMIREZ JEFERSON
11°3
9,22
15
GALLARDO GUERRERO ELIZABETH
11°4
9,22
16
CUADROS QUINTERO LAURA VANESA
11°3
9,21
17
CORREDOR CUETO LIZETH
11°3
9,13
18
NAVARRO BALLENA ZULEIMA
11°3
9,09
19
CASELLES PALACIOS NICOL MARIANA
11°3
9,07
20
VALBUENA GALAN CRISTIAN JOSE
11°1
9,04

Para el año, los puestos para los cursos van así:

Curso
Promedio
Puesto
11°1
7,45
1
11°3
7,26
2
11°4
7,12
3
11°2
6,78
4

Felicitaciones a todos los que están en cuadro de honor y a 11°1 que esta de primero en los cursos.

lunes, 28 de agosto de 2017

Derivadas

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto

Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. 
Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. 
En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. 
Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Observemos los siguiente vídeos:

Que son las derivadas y sus aplicaciones

Este vídeo es del canal Derivando de youtube



No encontré una forma mas simple y básica de explicar el tema de derivadas que como lo hace este canal de Matemáticas Sencillas de Youtube de Fernando Félix Solís cuyos vídeos presento a continuación:

¿sabes qué es una derivada? Definición y significado geométrico

Una explicación mas detallada


Teoremas de derivación. Reglas básicas para derivadas.


Ejemplos sobre derivadas de funciones sencillas. Cálculo Diferencial


Derivada de un producto o multiplicación de funciones.


Derivada de un cociente o división de funciones.




Regla de la cadena para derivar funciones. 



Derivadas de funciones trascendentes más comunes.


Derivadas de funciones trigonométricas.


Como lo ven es lo mejor que hay en cuanto a la explicación de este tema de Derivadas.

Bien y para rematar, unos ejemplos explicados de JulioProfe

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1




DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicios 3, 4 y 5



CALCULADORA DE DERIVADAS

En Internet, se encuentran muchas herramientas para el calculo, una de ellas les presento a continuación:



EJERCICIOS INTERACTIVOS



EJERCICIOS CON SOLUCIÓN