lunes, 12 de febrero de 2018

Razones Trigonométricas

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo A como sigue:

Ayuda Memo-técnica. SOH-CAH-TOA


Espero que lo tengan en cuenta para resolver los ejercicios.

Existen las razones inversas:


Explicación en Vídeo: 


Ejemplos:

Ejemplo 1.


Ejemplo 2. 



Ejemplo 3.


Ejemplo 4.


Ejemplo 5.
Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.


Vídeos Explicativo Ejemplos de Razones Trigonométricas





Ejercicios Interactivos:



Teorema de Pitágoras

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Partes de un triángulo rectángulo
Los dos lados que conforman el ángulo de 90° son los Catetos y el otro lado es llamado Hipotenusa.

En particular, en un triángulo rectángulo se cumple el llamado teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió y probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Algebraicamente, el teorema se escribe  a2 + b2 = h2

Este Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura.

Parece simple, pero intentemos con un triángulo rectángulo para ver si es cierto...



Demostración del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Tarea: Investigar por lo menos una de las demostraciones del teorema de Pitágoras para compartir en clase:








Biografía de Pitágoras:



Encontrando los valores desconocidos en un Triángulo Rectángulo con el Teorema de Pitágoras

Se puede calcular el valor de la hipotenusa conociendo el valor de los dos catetos o el valor de un cateto, conociendo el valor de la hipotenusa y un cateto.


Explicación en Vídeo:



Ejemplo 1. Hallando la hipotenusa.


En el triángulo de arriba, nos dan las medidas de los catetos a = 5 y b = 12, respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.


Ejemplo 2. Hallando un Cateto.


Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana.

Para encontrar la longitud del cateto a, podemos sustituir los valores b y c en la fórmula y luego usar un poco de manejo algebraico para calcular a.


USANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COTIDIANOS

Los arquitectos e Ingenieros usan extensivamente esta fórmula cuando construyen rampas:

Ejemplo 3. Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 90 cm sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 3 metros de distancia con respecto al porche. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?

Para resolver un problema como este, normalmente dibujamos un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.


Se deben manejar las mismas unidades, por lo que en vez de 3 mt, se trabajará con su equivalente en cm: 3 mt = 300 cm

La respuesta es que la rampa mide 313,2 cm.

Explicación en Video de problemas de aplicación del teorema de Pitágoras:



Ejercicios Interactivos:


SIGUE... RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

lunes, 9 de octubre de 2017

Aplicaciones de la Derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, entre otros.

Las aplicaciones de la derivada en las funciones son: 
  1. Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
  2. Máximos y Mínimos
  3. Concavidad y convexidad.
  4. Puntos de inflexión
Se puede resumir en el siguiente mapa conceptual



1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Primero, debemos saber que es eso de crecimiento y decrecimiento de una función. Puedes ver el siguiente vídeo para ello:



Ahora, podemos calcular estos intervalos sin necesidad de graficar con la ayuda de la derivada:

  • La función es creciente en un punto "a" si la derivada de la función es positiva en dicho punto.
  • La función es decreciente en un punto "a" si la derivada de la función es negativa en dicho punto.
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos hacer como se explica en el siguiente vídeo:




2. Máximos y mínimos de una función

Un punto "a" es un máximo o un mínimo si se cumple:
  • Si f'(a)=0 y f''(a)≠0
Será un Máximo si f'(a)=0 y f''(a) es menor que cero<0 0="" font="">

Será un Mínimo si f'(a)=0 y f''(a) es mayor que 0

Observemos el siguiente vídeo donde se explicará un ejemplo:


3. Concavidad, Covexidad y Puntos de Inflexión

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.


Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:


Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Con la derivada se tienen los siguientes criterios:

  • f''(a) es mayor que 0, la función es Convexa
  • f''(a) es menor que 0 la función es Cóncava
Puntos de Inflexión:

En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Con la derivada se puede determinar si un punto es una inflexión así:

Si f''(a)=0 y f'''(a)≠0 entonces es un punto de inflexión

Observen los siguientes vídeos:




Otros ejemplos:

Calculadora de derivadas

Aunque debes derivar por ti solo, una ayuda no cae mal para rectificar los cálculos. En Internet, puedes encontrar varias, recomiendo estas dos:
Igual hay aplicaciones para celular en este sentido.

Ejercicios Interactivos:

Ejercicios Resueltos




Para finalizar

Espero les haya sido de utilidad. En el canal de JulioProfe se encuentran mas vídeos categorizados sobre aplicaciones de las derivadas.

Hasta pronto...