domingo, 13 de marzo de 2016

Funciones

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los elementos que forman el conjunto de datos de Y, también se le llama Rango).

En un lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 --------   1

                          2 --------   4

                          3 --------   9

                          4 -------- 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                          1 --------  1

                          2 --------  4

                          3 --------  9

                          4 -------- 16

                           x -------- x2


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x -------- x2    o     f(x) = x2


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x2      o     f(x) = x2

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.


Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = x2, etc.

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:


Conjunto X
Conjunto Y
Desarrollo
− 2
− 1
f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1
1
f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0
3
f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1
5
f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2
7
f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3
9
f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4
11
f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

 Tomado y adaptado de profesorenlinea.cl

Tipos o clases de funciones

Veamos este vídeo donde podremos ver las diferentes clases de funciones y el dominio y rango respectivo de cada una de ellas:



Bueno, ahí nos falta una en especial, que vamos a ver en este año, que son las funciones trigonométricas.



Continuaremos hablando de cada una de ellas...


Dominio y Rango de una función

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. 
El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mano estaba a 1,5 metros del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 5 metros también con respecto al suelo, entonces el rango es de 1,5 hasta 5 metros.

Resumiendo:  El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función.
Tomado y adaptado de montereyinstitute.org


Dominio y Rango en forma gráfica.

Veamos los siguientes ejemplos:





Dominio y rango en forma analítica para funciones polinómicas, racionales y con radicales

Observemos el siguiente vídeo:



martes, 1 de marzo de 2016

Números Irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir como fracción, es decir de la forma a/b y es su forma decimal es infinito no periódico (no se repite ningún patrón de números)

Un ejemplo famoso es el número Pi, es un número irracional. 
El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.



Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.


Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción).

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción, es decir de la forma a/b, se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así: 19/2 = 9,5. Así que no es irracional (es un número racional)

Otros ejemplos:



¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

En la calculadora obtenemos que la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz cuadrada de 2.

Así que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.


Demostración de la Irracionalidad de Raíz cuadrada de 2



Números irracionales famosos


Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)



e
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)


phi
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)



Radicales
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc)


Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números Irracionales

Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras  nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El conocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llegó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.


Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Explicación en vídeo de los números Irracionales:



Representación números irracionales en la recta real